Spørgsmål:
Hvordan "gættede" Kepler sin tredje lov ud fra data?
Joshua Benabou
2015-02-11 11:19:47 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Det er forbløffende, at Kepler bestemte sine tre love ved at se på data uden lommeregner og kun bruge pen og papir. Det kan tænkes, hvordan han beviste, at hans love beskrev dataene, efter at han allerede havde formodet dem, men hvad jeg ikke forstår, er, hvordan han gættede dem i første omgang.

Jeg vil især fokusere på Keplers tredje lov, der siger, at firkanten af ​​planetens omløbstid er proportional med terningen i kredsløbets halv-store akse.

Jeg antager, at Kepler kun arbejdede med data om planeterne plus vores egen måne og solen. Jeg antager denne antagelse, fordi jeg ikke tror, ​​at Kepler havde data om andre måner, kometer eller asteroider, som endnu ikke var observeret med teleskop. Hvis dette er sandt, vel vidende at Neptun, Uranus og Pluto endnu ikke blev opdaget, da Kepler var i live, betyder det, at Kepler havde mindre end 9 datapunkter at arbejde med.

Min ven hævder, at det er helt overbevisende hvordan Kepler gættede dette forhold (skønt han ikke giver nogen metode til, hvordan Kepler kunne have gjort det), og også at Keplers observationer er "ikke så hårde". Som en udfordring gav jeg min ven en datatabel med en kolonne mærket $ x $, den anden $ y $ og 9 koordinater $ (x, y) $, der passer til forholdet $ x ^ 4 = y ^ 3 $. Jeg sagde "find venligst forholdet mellem $ x $ og $ y $", og som du måske forventer, kunne han ikke gøre det.

Forklar mig, hvordan i al verden gættede Kepler dette forhold, der arbejdede med så få datapunkter. Og hvis min antagelse om, at antallet af datapunkter, som Kepler havde til rådighed, er lille, er forkert, så synes jeg stadig, det er ret vanskeligt at gætte dette forhold uden en lommeregner.

Han brugte kun data om Mars. Hans chef, Tycho Brahe, fortalte ham at finde ud af Mars 'retrograd bevægelse en gang for alle. Og det gjorde han fantastisk. Den tredje lov kom fra hans astrologiske mønster, der passer ind i [Harmonices Mundi] (http://science.larouchepac.com/kepler/harmony-old/site.php?goto=volumes.html) Og han havde * nok * data til at løse dette geometriske problem. Flere data ville ikke have hjulpet ham. Han valgte faktisk kun en delmængde af Mars modsætninger, som Tycho Brahe havde observeret.
Krydsindlæg på fysik og migrerede derefter til [HSM] (http://hsm.stackexchange.com/questions/1948/how-did-kepler-guess-his-third-law-from-data).
Kepler havde masser af data til at udlede sin første og anden lovgivning, som hver især gælder for en enkelt planet ad gangen, men hans tredje lov er et helt andet dyr. Det relaterer de forskellige planets kredsløb til hinanden. Uanset hvor mange data Tycho havde indsamlet, var der kun seks planeter (der tæller jorden men ikke tæller solen eller månen), og deres kredsløbskarakteristika blev ikke observeret så meget som beregnet (besværligt) af Kepler. Seks punkter, hver med en høj fejlmargen, er nok til at demonstrere et lineært forhold, men næppe.
@LocalFluff: Jeg har også læst, at Kepler stort set kun brugte data om Mars. Men i betragtning af at den tredje lov udtrykker forholdet mellem _ forskellige_ satelliters kredsløb, hvordan kunne han muligvis have gjort det, uanset hvor meget information om Mars alene han havde?
@MarcvanLeeuwen Jeg tror, ​​at det kommer ned til hans nye fysiske syn på tingene. At det samme sæt naturlove universelt styrer alle bevægelser. Andre udførte senere de kedelige beregninger for at bekræfte dette for alle planeter og Månen og Halley for en komet, bestemt allerede i det 17. århundrede. Kun Mercury's bane passede ikke helt på grund af subtile relativistiske effekter.
@LocalFluff: Det svarer slet ikke på mit spørgsmål. Én _kan ikke_ beregne hældningen fra en graf, der kun har et datapunkt (Mars 'kredsløbsform og omløbstid), uanset hvor præcist datapunktet er.
@MarcvanLeeuwen Han havde også kredsløb om Jorden. Men en enkelt bane er nok til at teste den tredje lov, og så er det en fysikfilosofi at generalisere dette resultat.
To svar:
Stan Liou
2015-02-11 12:29:29 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Keplers redegørelse for, hvordan den tredje lov blev til, er som følger (Caspar s. 286; fremhævelse min):

Den 8. marts i år 1618, hvis nøjagtige oplysninger om tiden er ønsket, dukkede den op i mit hoved. Men jeg var uheldig, da jeg indsatte den i beregningen og afviste den som falsk. Endelig, den 15. maj, kom det igen og erobrede mit sinds mørke med en ny debut, hvor der fulgte en så fremragende aftale mellem mine sytten års arbejde ved de tychoniske observationer og min nuværende overvejelse, at jeg først troede, at jeg havde drømte og antage det efterspurgte i de støttende bevis. Men det er helt sikkert og nøjagtigt, at forholdet mellem de periodiske tider for to planeter er nøjagtigt en og en halv gange andelen af ​​middelafstandene .

Selvom Kepler faktisk ikke beskriver inspiration, der fik ham til at tro på dette, giver den nysgerrige formulering en meget stærk anelse, når den kombineres med nogle baggrundsbiografiske oplysninger:

  1. John Napier udgav Mirifici Logarithmorum Canonis Descripto i 1614, som indeholdt den daværende nye opfindelse af logaritmer. Kepler var opmærksom på Napiers arbejde inden 1617 (Caspar s. 308), måske tidligere.
  2. Joost Bürgi offentliggjorde arbejde om logaritmer næsten på samme tid som Napier, og Kepler var ligeledes opmærksom på Bürgi og roste endda hans matematiske evner som overgår de fleste professorer i matematik.

Således svarer Keplers udsagn til at sige, at dataene udgør en hældning på 1,5 på en log-log-graf, hvilket er meget simpelt lineært forhold på denne skala.


Referencer:

  1. Caspar, Max, Kepler , (Dover, New York, 1993).
Interessant at han nævnte * middelafstanden *.
ganbustein
2015-02-11 12:01:36 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Keplers tredje lov er triviel (efter min mening) sammenlignet med hans første lov. Jeg er ganske imponeret over, at han var i stand til at udlede, at banerne var ellipser. For at få det måtte han gå frem og tilbage og planlægge Mars retning fra Jorden og Jordens retning fra Mars. Han kendte længden af ​​begge planets år, så observationer taget med et Mars-år fra hinanden ville kun variere, fordi Jorden var bevæget.

Men måske ikke så trivielt. Han offentliggjorde sine to første love i 1609. Den tredje lov kom først ti år senere, i 1619. Med ti år til at arbejde på det, vil selv det mest uklare forhold til sidst blive fundet.

For at opdage et forhold mellem magtforhold skal du plotte talernes logaritmer. I dit eksempel med $ x ^ 4 = y ^ 3 $, ville logfilerne plotte på en lige linje med en hældning på $ 3/4 $.

Timingen er korrekt. Napier udgav sin bog om logaritmer i 1614. Kepler har muligvis på et indfald anvendt dette skinnende nye matematiske værktøj til sine knuste gamle data.

Den største forhindring var, at der på det tidspunkt kun var seks kendte planeter, så han havde ikke en overflod af datapunkter, og dem, han havde, var på ingen måde præcise.

Keplers andet problem er, at ingen af ​​hans love gav nogen mening for ham. De passer til dataene, men han anede ikke hvorfor. Han havde ikke Newtons bevægelseslove at arbejde med, han havde ingen forståelse for kraft, momentum, vinkelmoment og bestemt ikke tyngdekraften. Så vidt han vidste, bevægede planeterne sig som de gjorde, fordi Gud forordnede det, og engle fik til opgave at skubbe planeterne langs deres baner. De ydre planeter bevægede sig langsommere, fordi de blev skubbet af mindre engle.

(Feynman kommenterer, at vi forstår så meget mere nu. Vi ved nu, at englene er på ydersiden og skubber ind mod solen. )

Selvom jeg næppe er lærd om Keplers arbejde, er AFAIK tilskrivningen af ​​englenes forklaring til Kepler en komplet fabrikation. Har du en reference til dette, der enten er skrevet af Kepler eller en der direkte citerer Kepler?
Kepler forsøgte faktisk at få magnetisme (dengang populær på grund af William Gilbert) til at forklare planetenes bevægelser omkring solen. Det er dette, der er grundlaget for fysisk videnskab. Han efterlod englene i kirken. Og han brugte kun udvalgte data om Mars og havde meget mere data, end han kunne håndtere. Big Data af hans tid. Mangel på data var slet ikke hans problem.
Faktisk Caspar s. 67: "Det er den nye tanke, at der er en kraft, der frembringer planetens bevægelser i solen, og som er så meget svagere, jo længere fjernet planeten er fra kraftens kilde. bog taler han om en 'anima motrix', en bevægende sjæl, men allerede i et brev fra denne periode bruger han ordet 'vigor', kraft. " Men * anima motrix * er ikke en engel ... [denne] (https://de.wikipedia.org/wiki/Anima_motrix) Tysk wikipedia-artikel om anima motrix er også interessant.
@StanLiou Ja, man skal huske på sammenhængen med ordene. "Sjæl" er et ord for magt. Ligesom vi i dag bruger enkle ord til naturfænomener og landbrug til at beskrive vores teknologiske samfund: (hvede) mark, (fiskeri) net, (flod) strøm. Selv nye udtryk kommer ud som "sky". Vi mener ikke det bogstaveligt, heller ikke ordet "sjæl" betød altid bogstaveligt. En middelalderlig landmand bliver måske ganske forvirret af en lærebog om elektronik!
@LocalFluff Ja, for at lave en velkendt sammenligning var det oprindelige navn på kinetisk energi * vis viva * ('levende kraft'), udtrykket vedtaget fra tidligere tradition, men henviser ikke til bogstavelig levevis. Selve udtrykket overlever stadig den dag i orbitalmekanik.
Når du siger, at Kepler ikke havde en overflod af datapunkter, er jeg ikke sikker på, at det er strengt sandt. Tycho Brache havde bedre udstyr end nogen før ham, så de planetariske datapunkter, som Kepler fik, var 10 gange mere nøjagtige end folk tidligere havde gjort. Han havde også Copernicus 'data, form, som han var i stand til at udlede, at Mars-banen var næsten 2 grader væk fra jordens elliptiske (noget Copernicus ikke havde bemærket). Med bedre data, den første person til at genkende forskellige elliptiske plan og et solidt matematisk fundament, var han i stand til at udarbejde ting, som ingen andre havde før.
Jeg vil sende et link til at sikkerhedskopiere det, men jeg kan ikke finde det lige nu. Du har ret i, at Keplers love dog ikke gav mening for ham. Jeg har også læst det. Han kunne faktisk ikke lide ellipser, og han forstod ikke, hvorfor baner ikke var cirkulære. Han kunne lide cirkler bedre, men kunne ikke få dem til at matche dataene.
Fantastisk svar. Vil du fortælle mig, hvordan Kelper kender Mars 'planetår?


Denne spørgsmål og svar blev automatisk oversat fra det engelske sprog.Det originale indhold er tilgængeligt på stackexchange, som vi takker for den cc by-sa 3.0-licens, den distribueres under.
Loading...